Teorema de Pitágoras: fórmula y ejemplos resueltos

Qué dice el teorema de Pitágoras

El Portal Académico del CCH de la UNAM lo enuncia así: «En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si los catetos miden a y b y la hipotenusa mide c, la relación se escribe a² + b² = c².

Solo funciona en triángulos rectángulos, es decir, en los que tienen un ángulo de 90°. El libro de prealgebra de OpenStax recuerda que lleva el nombre del filósofo y matemático griego Pitágoras, que vivió hacia el año 500 antes de nuestra era, y que la relación se usa en la geometría desde la Antigüedad.

El caso más conocido es el triángulo de lados 3, 4 y 5: los cuadrados de los catetos son 9 y 16, suman 25, y 25 es el cuadrado de 5. Esa misma comprobación sirve para saber si un triángulo es rectángulo, como se verá más adelante.

• Catetos (a y b): los dos lados que forman el ángulo recto.
• Hipotenusa (c): el lado opuesto al ángulo recto.
• Fórmula: a² + b² = c².
• Condición: el triángulo debe tener un ángulo de 90°.

Catetos e hipotenusa: cómo reconocerlos

Antes de sustituir números, identifica cada lado. OpenStax define la hipotenusa como el lado opuesto al ángulo de 90°, que en los dibujos suele marcarse con un cuadrito en la esquina; los otros dos lados son los catetos.

La hipotenusa es siempre el lado más largo del triángulo rectángulo. Se deduce de la propia fórmula: como c² es la suma de a² y b², es mayor que cada uno de ellos, y por lo tanto c es mayor que a y que b. Si al calcular un cateto te sale más largo que la hipotenusa, hay un error.

Los problemas no siempre dibujan el ángulo recto abajo a la izquierda. Si el triángulo está girado o la figura es una escalera contra un muro, busca dónde se forma el ángulo de 90°: en la escalera, entre el muro y el piso. La escalera misma es la hipotenusa.

1. Paso 1. Busca el ángulo recto. Es el cuadrito de la figura o la esquina donde se juntan dos lados perpendiculares, como el muro y el piso.
2. Paso 2. Marca la hipotenusa. Es el lado que no toca ese ángulo, el de enfrente.
3. Paso 3. Nombra los catetos. Son los dos lados que forman el ángulo recto; no importa cuál llames a y cuál b.
4. Paso 4. Decide qué buscas. Si falta la hipotenusa, sumarás cuadrados; si falta un cateto, restarás.

Fórmula y despejes para cada lado

De a² + b² = c² salen tres fórmulas, una por cada lado que puedas necesitar. Para la hipotenusa se suman los cuadrados de los catetos y se saca la raíz; para un cateto se resta el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa y se saca la raíz.

Al sacar la raíz se usa solo el resultado positivo. OpenStax lo explica con la definición de raíz cuadrada: si m = n², entonces √m = n para n mayor o igual que cero. Una longitud no puede ser negativa, así que −5 no es una respuesta válida aunque (−5)² también dé 25.

• Hipotenusa: c = √(a² + b²).
• Cateto a: a = √(c² − b²).
• Cateto b: b = √(c² − a²).

1. Hipotenusa, ejemplo de OpenStax. Catetos 3 y 4: c² = 9 + 16 = 25, así que c = 5.
2. Cateto, ejemplo de OpenStax. Cateto 5 e hipotenusa 13: b² = 169 − 25 = 144, así que b = 12.
3. Cateto con decimales, ejemplo del CCH. Cateto 6 m e hipotenusa 7.5 m: b² = 56.25 − 36 = 20.25, así que b = 4.5 m.
4. Resultado no exacto, ejemplo de OpenStax. Un soporte de 10 pulgadas forma un triángulo con dos catetos iguales: x² + x² = 100, x² = 50 y x = √50 ≈ 7.1 pulgadas.

Por qué funciona: una demostración con dos cuadrados

El Portal Académico del CCH presenta cuatro demostraciones del teorema, cada una con afirmaciones y razones: un cuadrado de lado c con cuatro triángulos dentro, dos cuadrados de lado a + b, triángulos semejantes y los cuadrados construidos sobre cada lado. La segunda se puede seguir sin dibujo, porque solo compara dos cuadrados del mismo tamaño.

Imagina dos cuadrados iguales, cada uno de lado a + b. En el primero colocas cuatro copias del triángulo rectángulo en las esquinas, de modo que en el centro quedan dos cuadrados: uno de lado a y otro de lado b. En el segundo acomodas los mismos cuatro triángulos para que en el centro quede un solo cuadrado inclinado, de lado c.

Como los dos cuadrados grandes miden lo mismo y contienen los mismos cuatro triángulos, lo que sobra en cada uno también debe medir lo mismo: a² + b² = c². El CCH lo escribe en ocho pasos; aquí va con los números del triángulo 3, 4 y 5 para que lo compruebes.

1. Lado del cuadrado grande: a + b = 3 + 4 = 7, así que su área es 7² = 49.
2. Área de cada triángulo: (3 × 4) ÷ 2 = 6; los cuatro suman 24.
3. Primer acomodo: 24 + 3² + 4² = 24 + 9 + 16 = 49.
4. Segundo acomodo: 24 + 5² = 24 + 25 = 49.
5. Conclusión: como los dos acomodos llenan el mismo cuadrado de 49, 9 + 16 debe ser igual a 25. Con letras: a² + b² = c².

Seis problemas resueltos paso a paso

OpenStax propone una estrategia de siete pasos para los problemas de geometría: leer y dibujar la figura con los datos, identificar qué buscas, nombrarlo con una variable, traducir a una ecuación, resolverla, comprobar y responder con una oración completa. Los seis problemas siguientes la aplican de forma resumida; sus datos son inventados y los resultados están comprobados.

Redondea solo al final y a la precisión que pida el problema. El CCH resuelve un caso parecido al segundo: una escalera de 12 m que llega a 10 m de altura queda a unos 6.6 m de la pared, porque d² = 144 − 100 = 44.

1. 1. Rampa. Una rampa avanza 6 m en horizontal y sube 0.5 m. ¿Cuánto mide la rampa? Es la hipotenusa: c² = 6² + 0.5² = 36 + 0.25 = 36.25, así que c = √36.25 ≈ 6.02 m.
2. 2. Escalera. Una escalera de 5 m se apoya en un muro con la base a 1.4 m de la pared. ¿A qué altura llega? Falta un cateto: h² = 5² − 1.4² = 25 − 1.96 = 23.04, así que h = 4.8 m.
3. 3. Pantalla. Una pantalla de 32 pulgadas mide eso en diagonal y tiene formato 16:9. ¿Cuánto mide de ancho y de alto? Los lados son 16k y 9k: (16k)² + (9k)² = 32², es decir, 337k² = 1,024, así que k ≈ 1.743. El ancho es de unas 27.9 pulgadas y el alto de unas 15.7.
4. 4. Distancia en el plano. ¿Qué distancia hay entre los puntos (1, 2) y (7, 10)? Las diferencias, 7 − 1 = 6 en x y 10 − 2 = 8 en y, funcionan como catetos: d² = 36 + 64 = 100, así que d = 10.
5. 5. Diagonal de un terreno. Un terreno rectangular mide 12 m por 35 m. ¿Cuánto mide su diagonal? d² = 144 + 1,225 = 1,369, así que d = 37 m.
6. 6. ¿Es rectángulo? Un triángulo tiene lados de 7, 8 y 11 cm. Se prueba con el lado mayor como hipotenusa: 7² + 8² = 49 + 64 = 113, y 11² = 121. Como 113 ≠ 121, no es rectángulo.

Ternas pitagóricas y cómo saber si un triángulo es rectángulo

Una terna pitagórica es un trío de números enteros que cumple a² + b² = c². Conocer algunas ahorra cálculos: si reconoces 5 y 12, sabes que la hipotenusa es 13 sin sacar raíces. Los ejercicios de OpenStax usan varias de ellas, como 5, 12 y 13 u 8, 15 y 17.

Si multiplicas los tres números de una terna por el mismo número, obtienes otra: de 3, 4 y 5 salen 6, 8 y 10, o 9, 12 y 15.

La fórmula también sirve al revés, para comprobar si un triángulo es rectángulo. Suma los cuadrados de los dos lados menores y compáralos con el cuadrado del lado mayor: si coinciden, el triángulo es rectángulo; si no, no lo es. El CCH lo aplica a un triángulo de 4, 5 y 6 cm: 16 + 25 = 41, que no es igual a 36, así que no es rectángulo.

• 3, 4 y 5: 9 + 16 = 25.
• 5, 12 y 13: 25 + 144 = 169.
• 8, 15 y 17: 64 + 225 = 289.
• 7, 24 y 25: 49 + 576 = 625.
• 9, 40 y 41: 81 + 1,600 = 1,681.
• 6, 8 y 10: el doble de 3, 4 y 5, con 36 + 64 = 100.

1. Ordena los lados de menor a mayor.
2. Eleva al cuadrado los dos menores y súmalos.
3. Eleva al cuadrado el mayor.
4. Compara: si los dos resultados son iguales, el triángulo es rectángulo; si no, no lo es.

Errores frecuentes y estrategia para el examen

Los errores de esta lista son de álgebra más que de geometría, y se evitan con dos hábitos: escribir la fórmula antes de sustituir y comprobar que la hipotenusa salga como el lado más largo.

Para seguir practicando despejes con problemas de aplicación, revisa la guía de leyes de Newton con problemas resueltos y la de sistemas de ecuaciones 2x2.

• Sumar los lados sin elevarlos. 3 + 4 = 7 no es la hipotenusa; lo que se suma son los cuadrados: 9 + 16 = 25.
• Sacar la raíz de cada término por separado. √(9 + 16) es 5, pero √9 + √16 da 7. La raíz se aplica a la suma completa.
• Restar al revés. Para un cateto se resta el cuadrado del cateto conocido al de la hipotenusa, c² − a², y no a² − c², que da un número negativo.
• Confundir la hipotenusa. Si usas un cateto como c, el resultado sale imposible o más largo que la hipotenusa.
• Mezclar unidades. Convierte todo a metros o a centímetros antes de elevar al cuadrado.
• Redondear antes de tiempo. Redondear a mitad del cálculo arrastra el error; redondea solo el resultado final.

1. Dibuja el triángulo aunque el problema no traiga figura y marca el ángulo recto.
2. Escribe a² + b² = c² y sustituye solo lo que conoces.
3. Antes de calcular, revisa si los números forman una terna conocida.
4. Resuelve, saca la raíz positiva y comprueba que la hipotenusa sea el lado más largo.
5. Responde con unidades y con una oración completa, como pide la estrategia de OpenStax.