Sistemas de ecuaciones 2x2: métodos y ejemplos resueltos

Qué es un sistema de ecuaciones 2x2

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma ax + by = c, donde a, b y c son números y x e y son las incógnitas. El CCH pone como ejemplo 2x + 3y = 5 y explica que su gráfica es una recta. Una sola ecuación así tiene muchas soluciones: en x + y = 10 sirven (1, 9), (4, 6) o (6, 4), entre otras.

Un sistema 2x2 junta dos de esas ecuaciones: dos ecuaciones y dos incógnitas. OpenStax define la solución de un sistema como los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones, y la escribe como un par ordenado (x, y). Por eso el sistema del CCH formado por 2x + y = 4 y x − y = −1 tiene una sola solución, x = 1 e y = 2: ningún otro par cumple las dos ecuaciones.

Para saber si un par es solución, sustitúyelo en las dos ecuaciones. OpenStax lo muestra con el sistema 3x − y = 7 y x − 2y = 4. El par (2, −1) cumple ambas, porque 6 + 1 = 7 y 2 + 2 = 4. En cambio, (3, 2) cumple la primera, 9 − 2 = 7, pero no la segunda, porque 3 − 4 da −1 y no 4; por eso no es solución. Antes de empezar, conviene ubicar las partes de cada ecuación:

• Incógnitas: las letras que buscas, casi siempre x e y.
• Coeficientes: los números que multiplican a las incógnitas; en 2x − y = 8 son 2 y −1.
• Términos independientes: los números solos del lado derecho; en 2x − y = 8 es el 8.
• Solución: el par (x, y) que cumple las dos ecuaciones a la vez.

Método de sustitución paso a paso

La sustitución consiste en despejar una incógnita en una ecuación y reemplazarla en la otra. Así el sistema se convierte en una ecuación de primer grado con una sola incógnita, que ya sabes resolver. OpenStax divide el método en seis pasos y recomienda elegir la ecuación y la variable que dejen el trabajo más fácil. Lo aplicamos al sistema principal de esta guía: x + y = 10 y 2x − y = 8.

El paso que pide más cuidado es el segundo. Al sustituir una expresión que tiene un signo menos delante, hay que ponerla entre paréntesis: si escribes 2x − 10 − x en lugar de 2x − (10 − x), el resultado cambia. OpenStax advierte que hay que tener mucho cuidado con los signos en este tipo de ejercicios. El mismo libro señala que la sustitución conviene cuando es fácil despejar una variable sin que aparezcan muchas fracciones.

1. Paso 1. Despeja una incógnita. En la primera ecuación, y tiene coeficiente 1: y = 10 − x.
2. Paso 2. Sustituye en la otra ecuación. Cambia y por 10 − x en 2x − y = 8: 2x − (10 − x) = 8.
3. Paso 3. Resuelve la ecuación que queda. 2x − 10 + x = 8, así que 3x − 10 = 8, 3x = 18 y x = 6.
4. Paso 4. Calcula la otra incógnita. En y = 10 − x: y = 10 − 6 = 4.
5. Paso 5. Escribe la solución como par ordenado. (6, 4).
6. Paso 6. Comprueba en las dos ecuaciones originales. 6 + 4 = 10 y 2(6) − 4 = 12 − 4 = 8. Las dos se cumplen.

Método de igualación paso a paso

En la igualación se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones, porque ambas valen lo mismo. El CCH de la UNAM enseña este método junto con la sustitución y la suma o resta, y lo relaciona con la gráfica: la solución son las coordenadas del punto donde se cortan las dos rectas.

La igualación es cómoda cuando las dos ecuaciones ya están despejadas para la misma variable. OpenStax resuelve así el sistema y = −2x + 5 y y = x/2: como las dos expresiones valen y, escribe x/2 = −2x + 5, multiplica por 2 para quitar la fracción, obtiene x = −4x + 10 y llega a x = 2 e y = 1. Si al despejar aparecen fracciones en las dos ecuaciones, puede convenir otro método.

1. Paso 1. Despeja y en la primera ecuación. x + y = 10, así que y = 10 − x.
2. Paso 2. Despeja y en la segunda. 2x − y = 8, así que y = 2x − 8.
3. Paso 3. Iguala las dos expresiones. 10 − x = 2x − 8.
4. Paso 4. Resuelve. Pasa las x a un lado y los números al otro: 10 + 8 = 2x + x, así que 18 = 3x y x = 6.
5. Paso 5. Sustituye en cualquiera de los despejes. y = 10 − 6 = 4, o bien y = 2(6) − 8 = 4. Que los dos den 4 ya es una primera comprobación.
6. Paso 6. Comprueba en las ecuaciones originales. 6 + 4 = 10 y 12 − 4 = 8.

Método de reducción o de suma y resta

La reducción, que el CCH llama método de suma o resta, elimina una incógnita al sumar o restar las ecuaciones. OpenStax la apoya en la propiedad de la suma de la igualdad: si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. El objetivo es que una incógnita tenga coeficientes opuestos en las dos ecuaciones, como +y y −y, para que desaparezca al sumar.

En el sistema principal eso ya ocurre, así que basta con sumar. Cuando los coeficientes no son opuestos, se multiplica una ecuación o las dos por el número adecuado, sin olvidar el término del lado derecho. Abajo tienes primero dos ejercicios de ese tipo y después los siete pasos de OpenStax aplicados al sistema principal.

• 3x + 2y = 16 y 5x − 3y = 14. Para eliminar y, multiplica la primera por 3 y la segunda por 2: 9x + 6y = 48 y 10x − 6y = 28. Al sumar, 19x = 76 y x = 4. En la primera, 12 + 2y = 16, así que y = 2. Comprobación: 12 + 4 = 16 y 20 − 6 = 14.
• 2x + 3y = 1 y 5x − 2y = 12. Multiplica la primera por 2 y la segunda por 3: 4x + 6y = 2 y 15x − 6y = 36. Al sumar, 19x = 38 y x = 2. En la primera, 4 + 3y = 1, así que 3y = −3 y y = −1. Comprobación: 4 − 3 = 1 y 10 + 2 = 12.

1. Paso 1. Pon las dos ecuaciones en forma estándar. Ya lo están: x + y = 10 y 2x − y = 8, sin fracciones.
2. Paso 2. Vuelve opuestos los coeficientes de una incógnita. Los de y ya son +1 y −1, así que no hay que multiplicar.
3. Paso 3. Suma las ecuaciones. (x + 2x) + (y − y) = 10 + 8, es decir, 3x = 18.
4. Paso 4. Resuelve la incógnita que queda. x = 6.
5. Paso 5. Sustituye en una ecuación original. 6 + y = 10, así que y = 4.
6. Paso 6. Escribe el par ordenado. (6, 4).
7. Paso 7. Comprueba en las dos ecuaciones. 6 + 4 = 10 y 12 − 4 = 8.

Método gráfico: dónde se cruzan las rectas

Cada ecuación del sistema es una recta, y la solución es el punto donde se cruzan. OpenStax resume el método en cuatro pasos: graficar la primera ecuación, graficar la segunda en el mismo plano, ver si las rectas se cortan, son paralelas o son la misma, e identificar la solución. Con el sistema principal, la forma rápida de graficar es buscar dónde corta cada recta los ejes:

El método tiene un límite. OpenStax advierte que graficar es incómodo o impreciso cuando las rectas salen de una cuadrícula de −10 a 10 o cuando la solución no tiene valores enteros, porque cuesta leerla con exactitud. Por eso conviene usarlo para ver la situación y revisar, y confirmar la respuesta con un método algebraico.

La gráfica también explica los tres resultados posibles. Si las rectas se cortan, hay una solución. Si son paralelas, con la misma pendiente y distinta ordenada al origen, no hay ninguna. Si son la misma recta, hay infinitas. OpenStax llama consistente al sistema que tiene al menos una solución e inconsistente al que no tiene ninguna; el CCH usa los nombres compatible e incompatible.

Estos casos también se detectan con álgebra. En x + 2y = 4 y 2x + 4y = 10, multiplica la primera por −2 y suma: −2x − 4y = −8 más 2x + 4y = 10 da 0 = 2, algo falso, así que el sistema no tiene solución. En x − 3y = 2 y 3x − 9y = 6, la segunda ecuación es la primera multiplicada por 3; al eliminar queda 0 = 0, que siempre es cierto, y cada punto de la recta es solución. OpenStax dice que en ese caso las ecuaciones son dependientes.

• x + y = 10: si x = 0, y = 10; si y = 0, x = 10. La recta pasa por (0, 10) y (10, 0).
• 2x − y = 8: si x = 0, y = −8; si y = 0, x = 4. La recta pasa por (0, −8) y (4, 0).
• Cruce: las dos rectas se cortan en (6, 4), la misma solución que dieron los métodos algebraicos.

Problemas con texto resueltos con sistemas de ecuaciones 2x2

Un sistema 2x2 sirve cuando un problema tiene dos cantidades desconocidas. OpenStax propone una estrategia de siete pasos: leer el problema, identificar qué se busca, nombrarlo con dos variables, traducir el texto a un sistema, resolverlo, comprobar la respuesta en el problema y responder con una oración completa. El mismo libro comenta que a algunas personas les resulta más fácil plantear un problema con dos variables que con una.

Comprueba siempre con el enunciado y no solo con las ecuaciones: si traduces mal una frase, el sistema puede tener solución y aun así no responder la pregunta. Los precios de estos tres problemas son inventados.

• Problema 1, cuadernos y plumas. Tres cuadernos y dos plumas cuestan 86 pesos; dos cuadernos y cinco plumas, 83. Si c es el precio de un cuaderno y p el de una pluma: 3c + 2p = 86 y 2c + 5p = 83. Por reducción, multiplica la primera por 5 y la segunda por 2: 15c + 10p = 430 y 4c + 10p = 166. Al restar, 11c = 264 y c = 24. Luego 72 + 2p = 86, así que p = 7. Comprobación: 48 + 35 = 83. Un cuaderno cuesta 24 pesos y una pluma, 7.
• Problema 2, boletos de teatro. Se vendieron 120 boletos, los de adulto a 80 pesos y los de niño a 50, y se juntaron 8,100 pesos. Con a boletos de adulto y n de niño: a + n = 120 y 80a + 50n = 8100. Por sustitución, n = 120 − a, así que 80a + 50(120 − a) = 8100, 30a + 6000 = 8100, 30a = 2100 y a = 70. Entonces n = 50. Comprobación: 5,600 + 2,500 = 8,100. Se vendieron 70 boletos de adulto y 50 de niño.
• Problema 3, edades. Una madre tiene el triple de la edad de su hija y entre las dos suman 32 años. Con m para la madre y h para la hija: m = 3h y m + h = 32. Al sustituir, 3h + h = 32, 4h = 32 y h = 8; la madre tiene 24. Comprobación: 24 es el triple de 8 y 24 + 8 = 32.

Qué método elegir y errores frecuentes

Los cuatro métodos llevan a la misma solución, así que elegir uno es cuestión de cuánto trabajo da y de cuántas oportunidades de error abre. OpenStax resume cuándo conviene cada uno, y la igualación del CCH encaja en el mismo esquema:

Antes de dar por buena una respuesta, repasa esta lista:

• Gráfico: cuando necesitas una imagen de la situación o quieres revisar un resultado.
• Sustitución: cuando una ecuación ya tiene una variable despejada o se despeja con facilidad.
• Igualación: cuando las dos ecuaciones tienen despejada la misma variable.
• Reducción o suma y resta: cuando las dos ecuaciones están en forma estándar, Ax + By = C.

1. Multiplica todos los términos. Al preparar la reducción, multiplica también el número del lado derecho; OpenStax insiste en multiplicar cada término de los dos lados.
2. Usa paréntesis al sustituir. En 2x − (10 − x), el signo menos afecta a los dos términos del paréntesis.
3. Comprueba en las dos ecuaciones. OpenStax lo pone como último paso de cada método: un par que cumple solo una ecuación no es solución.
4. Interpreta 0 = 0 y 0 = 2. El primero indica infinitas soluciones y el segundo, ninguna. No son errores de cálculo.
5. Responde la pregunta. En un problema con texto, termina con una oración que diga qué representa cada número.