Ecuaciones de primer grado: ejemplos resueltos paso a paso

Qué son las ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido, la incógnita, que casi siempre se escribe con una letra como x. Se llama de primer grado porque la incógnita aparece elevada a la potencia uno: no hay x², ni x dentro de una raíz, ni x en un denominador. En los libros en inglés, como el de OpenStax, se les llama ecuaciones lineales, y su meta es siempre la misma: transformar la igualdad hasta llegar a una forma tan simple como ax = b, donde ya basta una división para encontrar x.

Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. Por eso cada resultado se puede comprobar: se sustituye en la ecuación original y se revisa que los dos lados den lo mismo. En 2x + 5 = 17, el valor x = 6 es la solución porque 2 por 6 más 5 da 17. Antes de seguir conviene tener claro el vocabulario, porque los profesores lo usan en las instrucciones de los ejercicios.

• Incógnita o variable: la letra cuyo valor buscas, por ejemplo x.
• Miembros: lo que está a la izquierda y a la derecha del signo igual.
• Términos: cada parte que se suma o se resta dentro de un miembro, como 2x y 5.
• Coeficiente: el número que multiplica a la incógnita; en 2x es el 2.
• Constante: un número sin incógnita, como el 5 o el 17.

La regla de oro: lo que haces en un lado, hazlo en el otro

Todo el procedimiento descansa en las propiedades de la igualdad: si sumas, restas, multiplicas o divides los dos lados de una ecuación por el mismo número, distinto de cero en el caso de la división, la igualdad se conserva. Piensa en una balanza en equilibrio: si quitas un kilo de un platillo, tienes que quitar otro del contrario para que no se incline. OpenStax propone además elegir un lado de la variable, donde se juntarán los términos con x, y un lado de la constante, donde quedarán solo números.

El primer ejemplo del libro lo muestra con claridad. En 7x + 8 = −13, el 8 estorba en el lado de la variable, así que se resta 8 en ambos lados y queda 7x = −21. Después se dividen los dos lados entre 7 y resulta x = −3. La comprobación cierra el ejercicio: 7 por −3 da −21, más 8 da −13, igual que el lado derecho. La regla de «pasar el número al otro lado con el signo contrario» es solo un atajo de estas propiedades; sirve mientras sepas qué operación hiciste en los dos lados. Estas son las cuatro propiedades que usarás:

• Suma: puedes sumar el mismo número en ambos lados.
• Resta: puedes restar el mismo número en ambos lados.
• Multiplicación: puedes multiplicar ambos lados por el mismo número.
• División: puedes dividir ambos lados entre el mismo número distinto de cero.

Cómo resolverlas en cinco pasos

OpenStax resume el método en una estrategia general que sirve para cualquier ecuación lineal. No todas las ecuaciones necesitan los cinco pasos, pero seguirlos en orden evita la mayoría de los errores, y empezar por simplificar cada lado hace mucho más fáciles los siguientes. Si un paso no tiene nada que hacer, simplemente lo saltas.

Mira cómo funciona con el ejemplo del libro, −6(x + 3) = 24. Primero se distribuye el −6 y queda −6x − 18 = 24. Todos los términos con x ya están a la izquierda, así que se suma 18 en ambos lados: −6x = 42. Luego se dividen los dos lados entre −6 y se obtiene x = −7. La comprobación confirma el resultado: −7 + 3 es −4, y −6 por −4 da 24. Estos son los pasos en orden:

1. Simplifica cada lado lo más posible: quita paréntesis con la propiedad distributiva y reduce los términos semejantes.
2. Junta todos los términos con la incógnita en un solo lado, sumando o restando en ambos lados.
3. Junta todas las constantes en el otro lado, también sumando o restando en ambos lados.
4. Haz que el coeficiente de la incógnita sea 1, dividiendo o multiplicando ambos lados, y escribe la solución.
5. Comprueba: sustituye el valor en la ecuación original y verifica que los dos lados den lo mismo.

Cinco ejercicios resueltos para empezar

Resuelve cada ejercicio en tu cuaderno antes de leer el desarrollo. Van de menor a mayor dificultad, y en todos se muestra la comprobación, porque es la parte que más se olvida y la que convierte un resultado probable en uno seguro.

Fíjate en el patrón de esta primera serie. Los ejercicios 1 y 2 se resuelven con una sola operación; el 3 necesita dos, primero quitar la constante y después dividir. En el 4 la incógnita aparece en ambos lados, así que el paso clave es juntar las x antes de mover los números. Y en el 5 aparece un paréntesis, que se elimina con la propiedad distributiva antes de todo lo demás. Reconocer qué tipo de ecuación tienes enfrente te dice por cuál de los cinco pasos empezar y cuáles puedes saltarte. Cuando puedas resolver los cinco sin mirar el desarrollo y con la comprobación correcta, pasa a la siguiente serie.

• 1. x + 7 = 15. Restas 7 en ambos lados y queda x = 8. Comprobación: 8 + 7 = 15.
• 2. 3x = 27. Divides ambos lados entre 3 y queda x = 9. Comprobación: 3 por 9 da 27.
• 3. 2x + 5 = 17. Restas 5: 2x = 12. Divides entre 2: x = 6. Comprobación: 12 + 5 = 17.
• 4. 5x − 8 = 3x + 6. Restas 3x en ambos lados: 2x − 8 = 6. Sumas 8: 2x = 14. Divides entre 2: x = 7. Comprobación: 35 − 8 = 27 y 21 + 6 = 27.
• 5. 4(x − 3) = 20. Distribuyes: 4x − 12 = 20. Sumas 12: 4x = 32. Divides entre 4: x = 8. Comprobación: 4 por 5 da 20.

Cinco ejercicios más: paréntesis, fracciones y decimales

Aquí aparecen los tres casos que más se complican en clase. Con paréntesis, multiplica el número de fuera por cada término de dentro, y si hay un signo menos, cambia el signo de todos. Con fracciones, multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminarlas, sin olvidar ningún término. Con decimales, multiplica todo por 10 o por 100 para trabajar con enteros. Después, aplica los mismos cinco pasos:

• 6. 3(2x + 1) − 4 = 2(x + 5) + 1. Distribuyes: 6x + 3 − 4 = 2x + 10 + 1, es decir, 6x − 1 = 2x + 11. Restas 2x y sumas 1: 4x = 12. Divides entre 4: x = 3. Comprobación: 3 por 7 menos 4 da 17, y 2 por 8 más 1 también da 17.
• 7. x/4 + 2 = 5. Restas 2: x/4 = 3. Multiplicas ambos lados por 4: x = 12. Comprobación: 12 entre 4 es 3, más 2 da 5.
• 8. 2x/3 − 1 = x/2 + 1. El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6; multiplicas cada término por 6: 4x − 6 = 3x + 6. Restas 3x y sumas 6: x = 12. Comprobación: 8 − 1 = 7 y 6 + 1 = 7.
• 9. 0.5x + 1.2 = 0.3x + 2. Multiplicas todo por 10: 5x + 12 = 3x + 20. Restas 3x y 12: 2x = 8. Divides entre 2: x = 4. Comprobación: 2 + 1.2 = 3.2 y 1.2 + 2 = 3.2.
• 10. −2(x + 4) = 3x − 18. Distribuyes el −2: −2x − 8 = 3x − 18. Sumas 2x: −8 = 5x − 18. Sumas 18: 10 = 5x. Divides entre 5: x = 2. Comprobación: −2 por 6 da −12, y 6 − 18 también da −12.

Problemas con texto: de las palabras a la ecuación

En los exámenes, muchas ecuaciones llegan escondidas en un enunciado. El trabajo tiene cuatro momentos: decidir qué te preguntan y llamarlo x, traducir cada frase a una operación, resolver con los cinco pasos y, al final, responder con palabras y unidades. Algunas traducciones se repiten tanto que conviene memorizarlas: «el doble de un número» es 2x, «tres más que» es x + 3, «juntos suman» indica una suma y «en total» o «da» marcan el signo igual.

La comprobación aquí tiene un paso extra: además de sustituir en la ecuación, revisa que la respuesta tenga sentido con el enunciado. Una edad negativa o un número de meses con decimales te avisa de que algo se tradujo mal. Estos cuatro problemas cubren formatos muy comunes en los exámenes:

• A. Un número más su doble da 45. ¿Cuál es el número? Si el número es x, su doble es 2x: x + 2x = 45, es decir, 3x = 45, y x = 15. Comprobación: 15 + 30 = 45.
• B. Ana tiene 3 años más que Luis y entre los dos suman 29. ¿Qué edad tiene cada uno? Si Luis tiene x años, Ana tiene x + 3: x + (x + 3) = 29, así que 2x + 3 = 29, 2x = 26 y x = 13. Luis tiene 13 años y Ana 16. Comprobación: 13 + 16 = 29.
• C. Un club deportivo cobra 200 pesos de inscripción y 350 por mes. Una familia pagó 2,300 pesos en total. ¿Cuántos meses pagó? Si m es el número de meses: 200 + 350m = 2,300. Restas 200: 350m = 2,100. Divides entre 350: m = 6. Respuesta: pagó 6 meses. Comprobación: 200 + 2,100 = 2,300.
• D. El largo de un rectángulo mide 4 cm más que su ancho y su perímetro es de 32 cm. ¿Cuánto miden sus lados? Si el ancho es x, el largo es x + 4, y el perímetro suma dos anchos y dos largos: 2x + 2(x + 4) = 32. Distribuyes: 4x + 8 = 32. Restas 8: 4x = 24. Divides entre 4: x = 6. El ancho mide 6 cm y el largo 10 cm. Comprobación: 12 + 20 = 32.

Errores frecuentes y cómo practicar

La práctica suele rendir más si es corta y frecuente. Una rutina de 15 minutos funciona bien: resuelve tres ecuaciones nuevas sin mirar el método, comprueba cada resultado, anota en una línea el error que cometiste y, días después, vuelve a resolver las que fallaste. Cuando domines las ecuaciones sueltas, aplícalas en física: despejar la aceleración en las leyes de Newton es exactamente el mismo procedimiento.

Antes de entregar un ejercicio, revisa que no hayas caído en ninguno de estos seis errores, que están detrás de muchos resultados equivocados:

• Distribuir mal el signo menos: −2(x + 4) es −2x − 8, no −2x + 8.
• Operar en un solo lado: si restas 5 a la izquierda y no a la derecha, la igualdad deja de ser cierta.
• Olvidar un término al multiplicar por el mínimo común múltiplo: también los números enteros sin denominador se multiplican.
• Perder el signo al dividir: si −6x = 42, el resultado es x = −7, no 7.
• Pasar con la operación equivocada: en 3x = 27, el 3 multiplica, así que pasa dividiendo, no restando.
• No comprobar: sustituir el resultado toma menos de un minuto y te avisa si algo salió mal.